Розробки уроків 9 клас

Орієнтовне планування  теми «Функція та її властивості» в 9 класі

 

№ уроку	Тема уроку	Кількість  годин
1.	Функції. Властивості функції.	1
2.	Найпростіші перетворення графіків функцій.	1
3.	Найпростіші перетворення графіків функцій.	1
4.	Найпростіші перетворення графіків функцій.	1
5.	Функція у = ах2 + вх + с, її властивості та графік.	1
6.	Функція у = ах2 + вх + с, її властивості та графік.	1
7.	Квадратична нерівність. Розв’язування квадратичних нерівностей.	1
8.	Квадратична нерівність. Розв’язування квадратичних нерівностей.	1
9.	Квадратична нерівність. Розв’язування квадратичних нерівностей.	1
10.	Підсумковий урок теми.	1
11.	Контрольна робота.	1

 

Тема : Функції. Властивості функції.

Мета : повторити та систематизувати знання учнів про числові функції :

            означення, властивості, графіки; сформувати оперативні вміння

            працювати з формулою у =f (х).

Тип уроку : повторення та систематизації.

Наочність : таблиці.

                    

І. Організаційний  момент.

 

Надати учням інформацію про кількість навчальних годин, основні вимоги до знань та вмінь учнів, дату контрольної роботи.

 

ІІ. Формулювання мети та завдань уроку. Мотивація навчальної діяльності.

 

ІІІ. Актуалізація опорних знань та вмінь.

 

1.     Розв’язати рівняння:

·        0,5 х + 20 = 0;

·        (х + 3) ( х – 8) = 0;

·        х² – 5х + 6 = 0.

2.     Встановити відповідність між графіками і формулами функцій:

 

 

 

 

 

 

 

     а) у = 1/х;     б) у = кх + в;   в) у = х² ;  г) у = √ х

 

 

ІV. Систематизація знань

 

1.     Означення  числової функції. Аргумент функції, значення функції. Способи задання функції.

2.     Область визначення функції.

3.     Область  значень функції.

4.     Графік функції.

5.     Нулі функції.

6.     Проміжки знакосталості функції.

7.     Основні види елементарних функцій та їх графіки.

 

 

 

 

 

	Формула	Графік	Властивості
Лінійна функція	у = кх + в		D: х є (-∞ ; +∞), E:  у є (-∞ ; +∞), Функція зростаюча, якщо  к > 0; Функція спадна, якщо к < 0
	Пряма пропорційність у = кх		D: х є (-∞ ; +∞), E:  у є (-∞ ; +∞), Функція зростаюча, якщо  к > 0; Функція спадна, якщо к < 0
	у = в		D: х є (-∞ ; +∞), E:  у = в
Обернена пропорцій- ність	у = к/ х, х≠0		D: х є (-∞ ;0) U ( 0; +∞), E:  у є (-∞ ;0) U ( 0; +∞), Функція  спадна : к >0, Функція зростаюча : к<0
Квадратична   функція	у = х2		D: х є (-∞ ; +∞), E:  у є ( 0 ; +∞), у = 0, якщо  х = 0, функція зростає на проміжку хє( 0; + ∞); функція спадає на проміжку х є (-∞; 0)
Квадратний корінь	у = √ х		D: х є [0 ; +∞), E:  у є [0 ; +∞), у = 0, якщо  х = 0, функція зростає на проміжку хє( 0; + ∞);

V. Формування  вмінь

1.     Виконання усних вправ.

·        Знайти область визначення функцій:

-         у = 5х + 6;

-         у = √ х – 6;

-         у = 1/ (х – 3);

-         у = 2х² + 1.

                     Описати властивості функції ,

                     зображеної на малюнку.

 

 

2.     Виконання письмових вправ

-  № 158 (а,в)

  f ( х)= 0,5 х² – х – 2

  f ( 1)= - 2,5

  f ( -3)= 5,5.

          -  № 160 (а,в) Дано : f ( х)=  х² – 9х + 20

                 а) f ( х)=0                           в) f ( х)= 12

                     х² – 9х + 20 = 0                   х² – 9х + 20 = 12

                     х₁ = 5, х₂ = 4                    х₁ = 8, х₂ = 1

              Відповідь: f ( х)=0,               Відповідь: f ( х)= 12,

              якщо х = 5, х = 4.                 якщо х = 8, х = 1.

 

-       Знайти область визначення функції:

а) у = 4/ (х² – 144)                                               б) у = √ 8 – х

    х² – 144 ≠ 0                                                           8 – х ≥ 0

    х ≠ ± 12                                                                  х≤ 8

D : х є (-∞;- 12)U(-12; 12)U( 12; ∞)                   D : х є (-∞; 8]

 

-       Побудуйте в одній системі координат графіки функцій у = 4/х та

у = 2х – 4. Знайдіть координати точок перетину цих графіків.

 

-       Знайти нулі функції:

а) у = 14 + 21х;  б) у = х² – 9х + 20; в) у = 5х / (4х – 2)

 

VІ. Домашнє завдання: переглянути конспект по зошиту, § 3, п.3.1 читати,

                                         № 161, № 162 письмово

                                         Виготовити шаблон параболи ( у = х²)

 

VІІ. Підсумок  уроку.

 

 

Урок 2

Тема :  Найпростіші перетворення графіків функцій.

Мета :  формування вмінь учнів будувати графік функції у = f (х), та робити найпростіші перетворення  цього графіка: у = f (х)        у = f (х) + n, у = f (х + m), у = f (х+ m)+ n, у =а f (х);

Розвивати  культуру  побудови графіків , логічне мислення,  уяву.

Виховувати  потребу в знаннях.

Тип уроку : засвоєння знань, формування умінь

 

І. Організаційний момент.

 

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1.     Дати відповіді на запитання учнів по домашньому завданню.

2.     Самостійна робота

 

1.	Функцію задано формулою f(х) = х2 – 5х. Знайти  f(2)	А) -14  ; Б) 14; В)  6;     Г) - 6
2.	Знайти нулі функції у = - 5х + 20.	А) -4  ; Б) 15; В)  0;     Г)  4
3.	Функція у = f(х)  визначена на всій числовій прямій. Користуючись малюнком, знайти множину розв’язків нерівності.	А)[-5;+∞); Б) ( - 5; + ∞); В)(- ∞; - 5); Г) ( - ∞; - 5].

3.     Знайти нулі функції : у = (х-1)/ (х² – х);

4.     Побудувати графік функції у = - 2/х. Користуючись графіком, вказати проміжки, на яких дана функція набуває додатних значень.

 

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

1.     Дано  функції, вказати їх вид та область визначення:

·        у = 3х + 2;

·        у = √ х + 9;

·        у = 6/ х;

·        у = х² + 2.

2.     Побудувати графіки функцій в одній системі координат:

·      у = 2х;

·      у = 2х – 1;

·      у = 2 (х – 1).

ІУ. Формулювання мети і завдань уроку.

У. Засвоєння знань.

1.     Уявлення про перетворення графіків функцій.

2.     Побудова графіків за допомогою паралельного перенесення вздовж осі ОУ.

3.     Побудова графіків за допомогою паралельного перенесення вздовж осі ОХ.

4.     Розтяг (стиск) графіка функції вздовж осі ОУ.

Формули залежності	Приклади графіків	Перетворення
у = f (х)        у = f (х) + n		Паралельне перенесення вздовж осі ОУ на n одиниць вгору , якщо n>0; на n одиниць вниз , якщо n<0.
у = f (х)             у = f (х + m)		Паралельне перенесення вздовж осі ОХ на m одиниць вправо , якщо m<0, на m  одиниць вліво, якщо m >0
у = f (х)        у = f (х + m)+n		Паралельне перенесення на m одиниць вздовж осі ОХ та на n одиниць вздовж осі ОУ
у = f (х)        у = kf (х)		Розтяг вздовж осі ОУ, якщо k>1, Стиск, якщо 0<k<1

 

УІ. Формування вмінь

1.     Виконання вправ на визначення координат вершини параболи та осі симетрії параболи: № 166(а,г); 174(а,в,д); № 175(г,г,д); №183,184(в,г).

2.     Виконання вправ на побудову графіків (виконання перетворень) за допомогою шаблона параболи: №176(г,г,д); № 185(в,г).

3.     Задати формулою функцію : № 167(а,в); №177(а,г); №182(а,г)

4.     Користуючись графіком, записати рівняння функції : № 196.

 

УІ. Домашнє завдання : вивчити конспект, №176 (а,б), 185 (а,б), №182(б,в).

УІІ. Підсумок уроку

За допомогою шаблону параболи здійснити перетворення у = х², у = (х + 3)², у = х² + 2, у = ( х+3)² + 2.

 

 

 

Урок 3

Тема :  Найпростіші перетворення графіків функцій.

Мета :  сформувати знання про основні види геометричних перетворень: симетрія відносно осі ОХ, симетрія відносно осі ОУ, сформувати вміння читати графіки функцій, виконувати побудову графіків функцій, виконуючи перетворення, що задані функцією.

Розвивати  культуру  побудови графіків , логічне мислення,  уяву.

Виховувати  потребу в знаннях.

Тип уроку : комбінований

 

І. Організаційний момент.

 

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1. Дати відповіді на запитання учнів по домашньому завданню.

2. Математичний диктант

·        Записати формулу функції, яку отримали з графіка функції у = х² в результаті паралельного перенесення вздовж осі ОУ на 2 одиниці вниз.

·        Записати формулу функції, яку отримали з графіка функції у = х² в результаті паралельного перенесення вздовж осі ОХ на 2 одиниці вправо.

·        Записати формулу функції, яку отримали з графіка функції у = х² в результаті паралельного перенесення вздовж осі ОУ на 2 одиниці вниз та вздовж осі ОХ на 2 одиниці вправо.

·        Запишіть координати вершини  останньої параболи.

·        Запишіть рівняння осі симетрії параболи.

·        Побудуйте графік функції із завдання 3 ( схематично)- за допомогою  шаблона.

ІІ. Формування в учнів вмінь будувати графіки функцій за відомим графіком f(х).

у = f (х)        у = -f (х)		Симетрія відносно осі ОХ
у = f (х)        у = f (-х)		Симетрія відносно осі ОУ
у = f (х)        у = |f (х)|		Симетрія нижньої частини графіка відносно осі ОХ
у = f (х)        у = f (|х|)		Симетрія правої частини відносно осі ОУ
у = f (х)        |у |= f (х)		Симетрія верхньої частини відносно осі ОХ

 

ІІІ. Закріплення.  Робота  в групах (парами). Вчитель контролює і надає допомогу тим групам, яким важко справитися із завданням.

 

І група	За допомогою шаблонів параболи  побудувати графіки функцій: у = - х2 + 2 у =  - (х + 2)2 у = | х2 - 2| |у |= х2 – 2
ІІ група	За допомогою шаблонів параболи  побудувати графіки функцій: у = - х2 - 1 у =  - (х + 1)2 у = | х2 - 3| |у |= х2 – 3
ІІІ група	За допомогою шаблонів параболи  побудувати графіки функцій: у = - х2 - 2 у =  - (х + 3)2 у = | х2 - 1| |у |= х2 - 1

ІУ. Підсумок уроку

1.     Що нового дізналися на уроці?

2.     Чи сподобалася форма роботи на уроці?

3.     На якому рівні засвоєно тему (самооцінка)?

4.     Виставлення оцінок учням.

 

У. Домашнє завдання.

Сформувати 3 групи по 2 учні ( бо у класі 6 учнів). Групам певні завдання :

І група «жовті»	Побудова графіка за відомим графіком за допомогою паралельного перенесення.	у =  х2; у = х2 – 3; у = ( х – 3)2; у = - х2; у = - х2 + 2; у = - ( х + 2)2.
ІІ група «зелені»	Розтяг вздовж осі ОУ, якщо k>1, стиск, якщо 0<k<1; Розтяг вздовж осі ОХ, якщо 0<k<1, стиск , якщо k>1.	у =  3х2; у = 3х2 – 3; у = 3( х – 3)2; у =( 1/2 х + 3)2 у = - ½ х2 + 2;
ІІІ група «червоні»	Побудова графіків функцій: у = |f (х)|; у = f (|х|); |у |= f (х).	у = |х2 – 3|; у = (| х| – 3)2;   |у |= - х2 + 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок 4

Тема :  Найпростіші перетворення графіків функцій.

Мета :  узагальнити та систематизувати знання учнів з теми «Найпростіші перетворення графіків функцій», продовжити формувати вміння читати графіки функцій, виконувати побудову графіків функцій, виконуючи перетворення, що задані функцією.

Розвивати  культуру  побудови графіків, логічне мислення,  уяву.

Виховувати  потребу в знаннях.

Тип уроку : комбінований

 

І. Мотивація навчальної діяльності.

ІІ. Оголошення теми та визначення очікуваних результатів.

Після цього уроку учні зможуть : виконувати побудову графіків функцій,  читати графіки функцій ,робити найпростіші перетворення графіків функцій.

ІІІ. Узагальнення та систематизація знань та вмінь учнів. Інтерактивна вправа  «Ажурна пилка».

На попередньому уроці кожен учень отримав картку певного кольору з номером на ній ( №1-2). Формується  три групи по 2 особи в кожній. Після оголошення теми та мети уроку учні об’єднуються  в групи відповідно до кольору карточок, які вони отримали додому («домашні групи»)

1.     У домашніх групах учні обмінюються інформацією, проводять взаємоопитування.

2.     Потім учитель  дає команду об’єднатися в групи відповідно до своїх номерів карток («експертні групи»). У кожній експертній групі опиняються представники з кожної домашньої групи. Учні кожної  домашньої групи пояснюють  свій матеріал за планом, який лежить на кожній парті.

3.     Учитель пропонує учням об’єднатися в «домашні групи», учасники яких обмінюються між собою інформацією, яку отримали в експертних групах.

 

ІУ. Підбиття підсумків – «ланцюжок». Учні по черзі виходять до дошки і будують за допомогою шаблона графіки, записують  координати вершини параболи та рівняння осі симетрії і пояснюють (перетворення):

·        у = -х²  + 5;

·        у = - (х + 5)²;

·        у = - (х + 5)² + 5;

·        у = |-х² + 5|;

·        у = (|х| + 1)² ;

·        |у| = (х + 1)² – 1.

Запропонувати учням дати відповіді на питання («Мікрофон»)

·        Оцініть свою роботу в групах;

·        Чому навчився в групах сам?

·        Чому навчив інших?

 

Домашнє завдання :

1.     Зробити презентацію до теми «Найпростіші перетворення графіка квадратичної функції».

Або:

2.     Зробити рекламу до наступної теми уроку «Квадратична функція».

 

 

Урок 5

Тема : Функція  у = ах² + вх + с, її графік і властивості

Мета : формування в учнів уміння будувати графік функції у = ах² + вх + с,

            вивчення властивостей функції.

 

І. Перевірка  домашнього завдання. (Заздалегідь переглянути роботи учнів, які заслуговують уваги на уроці). Розглянути  рекламу квадратичної функції.

 

ІІ. Актуалізація опорних знань:

1.     Розкласти на множники многочлен

·        3х² – 21;

·        8х³ – х²;

·        4х² + 4х + 1;

·        х² – 5х + 6.

     2.   Опишіть перетворення, які треба здійснити, щоб із графіка функції

у = х² отримати графіки функцій:

·        у = ( х – 1 )²;

·        у = х² + 1;

·        у = (х – 1)² + 1;

·        у = 2 х² + 2;

·        у = - ½ (х – 1)² + 1;

ІІІ.  Формування поняття квадратичної функції, графіка квадратичної  функції.

План вивчення нового матеріалу

1.     Означення квадратичної функції.

     Навести приклади квадратичних функцій.

2.     Графік квадратичної функції.

3.     Алгоритм побудови графіка квадратичної функції.

 

ІУ. Формування вміння будувати графік функції у = ах² + вх + с.

Приклад : Побудувати графік функції у = 2х² + 4х + 3.

1. Знайдемо координати вершини параболи: хв.= - в/2а;  ув = ах2в+ вхв+ с	Хв.= -4/2*2= -1, Ув. = 2*(-1)2 + 4*(-1) +3 = 1
2. Побудуємо точку (-1;1) – вершину параболи. Проведемо через цю точку вісь симетрії параболи (пряму , паралельну осі ОУ)
3. Знайти нулі функції, якщо вони є, і побудувати на осі абсцис відповідні точки параболи	2х2 + 4х + 3=0 D = 16 – 4*2*3= - 8, D<0, отже парабола вісь ОХ не перетинає
4. Знайти координати точки перетину параболи з віссю ОУ. І побудувати цю точку на осі ординат.	У= 2*02 + 4*0+3= 3, Отже координати точки перетину параболи з віссю ОУ : ( 0; 3).
5. Візьмемо дві точки на осі ОХ, симетричні відносно осі симетрії параболи ( прямої х = хв). Обчислимо значення функції в цих точках.	Х    1       - 3   У     9        9 Побудуємо точки (1;9), (-3;9).
6. Будуємо параболу, сполучаючи  побудовані точки плавною лінією.

 

 

Виконання вправ № 199 (колективно)

Самостійно № 200 (а)

 

У. Підсумок уроку

1.     Яка функція називається квадратичною?

2.     Що являє собою графік функції у = ах² + вх + с?

3.     Що таке нулі квадратичної функції? Як їх знайти?

4.     Як знайти координати вершини параболи?

5.     Як знайти ординату точки перетину графіка квадратичної функції з віссю ОУ?

6.     Як визначити напрям віток параболи  у = ах² + вх + с?

 

УІ. Домашнє завдання: п. 3.7  читати, вивчити алгоритм побудови графіка квадратичної функції., № 200 (б,в,г), № 198 (б,г,д)

 

 

 

Урок 6.

Тема : Функція у = ах² + вх + с, її властивості і графік.

Мета : закріпити знання учнів про означення, вид графіка та алгоритм побудови графіка функції у= ах² + вх + с; сформувати вміння аналітично досліджувати властивості квадратичної функції; повторити загальні властивості функцій, схеми виконання основних  геометричних перетворень графіків функцій.

Тип уроку : застосування  знань, умінь, навичок.

І. Перевірка домашнього завдання

·        Перевірити наявність виконаних домашніх завдань, відповісти на запитання, які виникли в учнів під час виконання домашніх завдань.

·        Математичний диктант

1.     Квадратичною функцією називається функція виду ,,,

2.     Графіком квадратичної функції є….

3.     Абсцису вершини параболи можна знайти за формулою …

4.     Вітки параболи напрямлені вгору, якщо…

5.     Значення х, при яких значення функції дорівнює 0, називаються

6.     Графік квадратичної функції симетричний відносно прямої…

7.     Побудуйте схематично графік функції, позначивши вершину параболи та будь-які дві її точки у = -х² + 6х – 7.

ІІ. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Завдання. На малюнку зображено графік функції  у = f(х). Користуючись графіком ,укажіть:

·        Область визначення функції;

·        Область значень функції;

·        Нулі функції;

·        Проміжки зростання і спадання функції;

·        Множину розв’язків нерівності  f(х)>0, f(х)<0

 

ІІІ. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу:

1.       Область визначення квадратичної функції.

2.       Область значень квадратичної функції.

3.       Проміжки зростання та проміжки спадання квадратичної функції.

4.       Проміжки знакосталості функції у = ах² + вх + с.

 

1. Область визначення D(у)	Х є R Х є (-∞; +∞)
2. Область значень  Е (у)	Якщо а>0, то ує [ ув; +∞) Якщо а <0, то у є (-∞; ув]
3. Проміжки зростання	Якщо а>0, то функція  зростає на проміжку х є [ хв; +∞) Якщо а <0, то  функція зростає на проміжку х є (-∞; хв]
4.Проміжки спадання	Якщо а>0, то функція  спадає  на проміжку х є (-∞; хв] Якщо а <0, то  функція спадає на проміжку х є [ хв; +∞)
5.Проміжки знакосталості

 

ІУ. Формування вмінь.

 Виконання усних вправ

1.     Вкажіть координати вершини параболи, рівняння осі симетрії, напрям віток, проміжки зростання та спадання функції:

А) у = х² + 5;

Б) у = -2х² + 5;

В) у = (х – 2)² ;

Г) у =- 3( х- 2)² – 5;

Д) у = 3х² -6х + 5.

     2.  №  207

 

   Виконання письмових вправ

1.     Побудувати графік функції у =  - 2х² – 2х +5 та дослідити її властивості.

2.     №  208, № 209 – колективне розв’язування

3.     Розв’язати графічно рівняння: х² – 2х + 2 = √х.

 

У. Підсумок уроку

 

 

 Урок 7.

Тема : Квадратична нерівність. Розв’язування квадратичних    

            нерівностей.

Мета уроку :дати поняття квадратичної нерівності; сформувати вміння в учнів розв’язувати квадратичні нерівності графічним способом; розвивати логічне мислення; спостережливість, увагу.

Тип уроку : формування нових знань та вмінь.

 

І. Перевірка домашнього завдання за записами, зробленими на дошці заздалегідь  учнями.

 

ІІ. Формулювання мети та завдань уроку.

 

ІІІ. Формування в учнів знань про квадратичну нерівність, вміння розв’язувати  їх графічним способом.

1.     Означення квадратичної  нерівності. Приклади квадратичних нерівностей.

2.     Різні способи розташування графіка квадратичної  функції відносно осі абсцис.

3.     Алгоритм розв’язування квадратичних нерівностей графічним способом.

Нерівність виду ах2 + вх + с > 0  (ах2 + вх + с < 0, ах2 + вх + с ≥ 0, ах2 + вх + с ≤ 0) називається квадратною, якщо а ≠ 0)
ах2 + вх + с > 0
а >0, D > 0                 х є (-∞; х1) U (х2; +∞)	а >0, D  = 0                 х є (-∞; х0) U (х0; +∞)	а >0, D < 0                 х є (-∞;  +∞)
а < 0,  D > 0                   х є (х1 ; х2)	а < 0,  D = 0                   Розв’язків немає.	а < 0,  D < 0                   Розв’язків немає.
ах2 + вх + с < 0
а >0, D > 0                 х є (х1 ; х2)	а >0, D  = 0                 Розв’язків немає.	а >0, D < 0                 Розв’язків немає.
а < 0,  D > 0                 х є (-∞; х1) U (х2; +∞)	а < 0,  D = 0                 х є (-∞; х0) U (х0; +∞)	а < 0,  D < 0                 х є (-∞;  +∞)

 

Алгоритм розв’язування квадратичної нерівності графічним методом.

- х2 – 2х + 3 < 0
1.Знайти корені квадратного тричлена й позначити їх на  координатній прямій.	- х2 – 2х + 3 = 0 D = в2 – 4 ас = 4 – 4 (-1) 3= 16, Х1 = (-в + √D)/2а = (2 +4)|(-2) = -3, Х2 = 1
2.     Схематично побудувати графік квадратичної функції, враховуючи  значення старшого коефіцієнта.
3. Записати проміжок, на якому функція набуває знака що відповідає заданій квадратичній функції.	Х є (-∞; - 3) U (1; + ∞)

 

ІУ. Формування вмінь

1.     Розв’язування усних вправ

·        На малюнку зображено графік функції у = х² – х – 2. Вкажіть розв’язки нерівностей:

А) х² – х – 2 < 0;

Б) х² – х – 2 > 0;

В) х² – х – 2 ≤ 0;

Г) х² – х – 2 ≥ 0.

2.     Розв’язування письмових вправ.

        № 266 ( г, д, є) – колективне розв’язування ,

        № 265 ( в,д) – колективне розв’язування ,

        № 267 (є) – колективне розв’язування .

 

У. Виконання вправ на повторення.

     1.  Побудувати графік функції  у = - х² + 6х + 7 ≤ 0 та дослідити її

          властивості.

 

УІ. Підсумок уроку – «Мікрофон».

1. Яка нерівність називається квадратичною?

2. Алгоритм розв’язування квадратичної нерівності графічним методом.

 

      УІІ. Домашнє завдання п.5.1 читати, вивчити алгоритм розв’язування квадратних нерівностей графічним методом.

Розв’язати №  266 ( а, в,г), № 265 (а,б)

№ 272 (а) для бажаючих.

 

 

Урок 8.

Тема : Квадратична нерівність. Розв’язування квадратичних    

            нерівностей.

Мета уроку : сформувати вміння в учнів розв’язувати квадратичні нерівності методом інтервалів; розвивати логічне мислення; спостережливість, увагу.

Тип уроку : формування нових знань та вмінь.

 

І. Перевірка домашнього завдання

1.Перевірити правильність виконання  домашнього завдання за записами, зробленими на дошці заздалегідь  учнями.

2. Фронтальна бесіда:

·        Що таке квадратична нерівність? Наведіть приклади.

·        Яка послідовність розв’язування квадратичних нерівностей графічним способом?

·        Як розташована парабола відносно осі ОХ, якщо дискримінант відповідного квадратного тричлена : а)дорівнює нулю; б) більший від нуля; в) менший від нуля?

·        Користуючись малюнком, на якому зображено графік квадратичної функції, визначте знак коефіцієнта а, коефіцієнта с, дискримінанта.

·        Користуючись малюнком, укажіть значення змінної, коли квадратична функція набуває : додатних значень, від’ємних значень, значень рівних нулю.

    

 

3.     Побудувати графіки функцій  та заповнити таблиці (самостійна робота  із взаємоперевіркою)

І варіант :    у = х2 + 2х + 4		ІІ варіант : у = ( х + 2) 2 - 4
х2 + 2х + 4 < 0		( х + 2) 2 – 4 ≥ 0
х2 + 2х + 4 > 0		( х + 2) 2 – 4 ≤ 0
х2 + 2х + 4 ≥ 0		( х + 2) 2 – 4 < 0
х2 + 2х + 4 ≤ 0		( х + 2) 2 – 4 > 0

 

ІІ. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів. Згадати розкладання квадратного тричлена на множники: ах² + в х + с = а ( х – х₁) (х – х₂).

Завдання 1. Розкласти  на множники :

·        х² + 2 х – 8;

·        3х² + 5 х – 2;

·        х² – 9;

·        16х² +24 х + 9;

·        - 2 х² +5 х + 7.

ІІІ. Ознайомлення учнів із розв’язуванням квадратних нерівностей методом інтервалів.

Приклад 1. Розв’язати нерівність: ( х + 2) ( х – 3 ) > 0

1. Знайти нулі функції.	( х + 2) ( х – 3 ) = 0 х1=- 2, х2 = 3
2. Позначити їх на координатній  прямій. Ці точки розіб’ють пряму на проміжки.
3. Визначити знаки функції на кожному з цих проміжків.	( 3 ; +∞) – «+» ( 2; 3) -      «- » ( -∞; -2) -  «+»
4. Записати відповідь	Х є ( -∞; -2) U ( 3 ; +∞).

 

Приклад 2. Розв’язати  нерівність: х² + 7х + 10 ≥ 0

 

1. Розкласти на множники квадратний тричлен. Знайти нулі квадратного тричлена .	х2 + 7х + 10 = (х + 2) ( х + 5) х2 + 7х + 10 = 0 х1=- 2, х2 = -5
2. Позначити їх на координатній  прямій. Ці точки розіб’ють пряму на проміжки.
3. Визначити знаки функції на кожному з цих проміжків.	[- 2 ; +∞) – «+» [- 2; -5 ] -      «- » ( -∞; -5] -  «+»
4. Записати відповідь	Х є ( -∞; -5] U [- 2 ; +∞).

 

ІУ. Формування вмінь розв’язувати нерівності методом інтервалів.

1.     Розв’язати  нерівності:

·        ( х – 2)(х + 6)(х – 15) > 0;

·        х (х – 1) ( х + 4) ( х – 16) ≤ 0;         колективне  розв’язування

·        (х² – 7х +12) ( х² – х + 2) ≤ 0;          з коментарем біля дошки

·        (х² – 3х - 4) ( х² – 2х -15) > 0;

·        ( х – 1)² ( х + 1) ≤ 0

2.     Самостійна робота. Розв’язати нерівності:

·        ( х – 14) ( х + 10)< 0;

·        ( х – 2) ( х – 5 ) (х – 6 ) > 0;

·        х² – 2х – 24 ≥ 0

                 (розв’язування нерівностей записати з протилежної сторони     

                 дошки). По закінченні ,сусід по парті перевіряє правильність

                   виконання за записами зробленими на дошці.

 

У. Підсумок уроку. Задано нерівність ( х – 2)² ( х + 3)³ ( х + 5) > 0. Для розв’язування цієї нерівності методом інтервалів її ліву частину позначили через у : у = ( х – 2)² ( х + 3)³ ( х + 5). Вкажіть, які з наведених тверджень правильні, а які неправильні?

А) область визначення функції  D(у) :  х є ( -∞; +∞ ).

Б) нулі функції : х₁ = 2, х₂ = - 3; х₃ = - 5

В) знаки функції на проміжках такі:

 

 

Г)розв’язком нерівності є (-∞; - 5) U (- 3; 2) U (2 ; +∞).

 

 

УІ. Домашнє завдання : Вивчити алгоритм  розв’язування нерівностей методом інтервалів, повторити графічний спосіб розв’язування квадратичних нерівностей. Розв’язати методом інтервалів  № 283 (б,г,д), № 285 (а,в).

 

 

Урок 9.

Тема : Квадратична нерівність. Розв’язування квадратичних    

            нерівностей.

Мета уроку : сформувати вміння в учнів розв’язувати дробово-раціональні нерівності методом інтервалів; продовжити удосконалювати вміння розв’язувати квадратичні нерівності та нерівності, що до них зводяться; розвивати логічне мислення; спостережливість, увагу.

Тип уроку : застосування  вмінь та навичок.

 

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Перевірку домашнього завдання зробити за записами, зробленими на дошці заздалегідь. Дати відповіді на питання учнів.

2. Математичний диктант.

1. Знайти область визначення функції у = (х-10)/(х-5)	хє(-∞; 5) U (5 ;+∞)
2. Знайти нулі функції у = ( х+3) ( х – 9)	Х1 = - 3, х2 = 9
3. Розв’язати нерівність ( х+3) ( х – 9) ≤ 0	Х є [-3; 9]
4. Знайти область визначення функції      у =√( х+3) ( х – 9)	хє(-∞; -3] U [9 ;+∞)

Учні обмінялися зошитами і перевірили диктант за записами, зробленими на дошці.

 

ІІ. Актуалізація опорних знань

Виконання усних вправ

1.     Як розташований графік функції у = ах² + вх + с відносно осі абсцис, якщо: D > O, D < O, D = 0.

2.     За рисунком графіка функції у = ах² + вх + с визначити знак коефіцієнта а, коефіцієнта с, дискримінанта .

 

 ІІІ. Формування  вмінь розв’язувати дробово-раціональні нерівності методом інтервалів.

Розглянемо застосування методу інтервалів до розв’язування дробово-раціональних нерівностей на прикладах.

Приклад 1. Розв’язати  нерівність ( 5 – х )/ (х + 3) < 0 .

                  ( 5 – х )/ (х + 3) < 0 → ( 5 – х ) (х + 3) < 0.

Хє (-∞; - 3) U ( 5 ; +∞)

 

Приклад 2. Розв’язати нерівність :  х² – 2х – 3  _≥ 0

                                                             х^{2 +}  3х – 4

   1)розклавши чисельник і знаменник на множники, одержимо:

( х - 3) (х + 1)  _≥0

                                              ( х – 1) ( х + 4)

 

   2) позначимо на координатній прямій нулі функції та визначимо знаки на

       числових проміжках:

 

          

 

       Відповідь : хє(-∞;4) U [-1; 1) U [3; +∞).

 

ІУ. Застосування вмінь та навичок

1.     Розв’язати нерівність:

·        ( х – 2) / (х² – 4) > 0;

·        (х² – х)/ (х² – 9) ≥ 0;                  колективне розв’язування

·        (х² – х – 12)/ (х + 1) ≥ 0;            з коментарем

·        (х² –7 х – 8)/ (х² - 64) ≥ 0;

 

     2. Розв’язати нерівності самостійно:

 

·         ( х – 4) / ( 2 + х)≤ 0;                         сильний учень розв’язує

·        (х – 3) (х + 4) _{≥ 0};

(х – 1) ( х + 2)                                  нерівності за дошкою.

·        (х² –3 х – 4)/ (х² + х - 6) ≥ 0.

 

У. Підсумок уроку. Розв’язати усно нерівності:

·        (х-3)/(х-4) > 0;

·        (х+2)/(х-3) ≤ 0;

·        (х-1)/(х+1) ≥ 0;

 

УІ. Домашнє завдання. Об’єднати учнів в домашні групи ( по 2 чоловіки) і дати завдання на картках :

Домашня група	Теоретичний матеріал	Виконати завдання
І група «жовті»	Квадратична функція. Побудова графіка квадратичної функції. Скласти алгоритм побудови графіка квадратичної функції.	1.Побудувати графіки функцій: ·        у= х2 – 2 х – 8; ·        у = 2х2 – 5х +3; ·        у = (х + 3)(х – 9); ·        у = - (х – 3)2 - 2
ІІ група «зелені»	Квадратична функція. Дослідження властивостей квадратичної функції. Скласти план  дослідження властивостей квадратичної функції.	1.Побудувати графіки функцій та дослідити її властивості: ·        у =-х2 – 4 х – 3 ·        у = 2х2 – 5х +3; ·        у = - (х – 3)2 - 2
ІІІ група «червоні»	Квадратичні нерівності. Графічний спосіб розв’язування квадратичних нерівностей. Метод інтервалів. Скласти алгоритми розв’язування нерівностей.	1.Розвязати графічним способом: ·        -х2 + 6х  - 5 < 0. 2. Розв’язати методом інтервалів: ·        х2 + 2х – 3  ≤ 0 ( х + 1)2 3. Знайти область визначення функції у = √ - х2 + 6х – 8.

 

Урок 10.

Тема : Підсумковий урок з теми « Функції. Властивості функції. Функція

            у = ах² + вх + с. Розв’язування  квадратних  нерівностей.

 

Мета : повторити, систематизувати та узагальнити знання та вміння , які опанували  учні під час вивчення теми «Функції. Властивості функції. Функція у = ах² + вх + с. Розв’язування квадратичних нерівностей». Підготувати учнів до виконання завдань контрольної роботи.

Розвивати логічне мислення, пам'ять, увагу.

Виховувати  взаємоповагу,  співпереживання за інших.

 

 Тип уроку : систематизації та узагальнення  знань та вмінь.

 

І. Організаційний момент. Перевірка  готовності учнів до уроку, налаштування їх на роботу.

 

ІІ. Формулювання мети та завдань уроку.

Як ви розумієте цей урок – передостанній в даній темі, а тому на ньому ми займемося  систематизацією та узагальненням знань та вмінь, набутих вами в ході вивчення теми «Функції. Властивості функції. Функція у = ах² + вх + с. Розв’язування квадратичних нерівностей».

 

ІІІ. Повторення і систематизація  знань. Групова форма роботи - інтерактивна вправа «Ажурна пилка».

 

Після оголошення  теми та мети уроку пропоную  учням  об’єднатися  в групи по кольору карточки ( домашня група).

1.     У домашніх групах учні обмінюються інформацією, проводять  

Взаємоопитування, розповідають як виконували домашнє завдання. Якщо потрібно, то коригують знання ( бо в групах лише по 2 учні

 ( 5 хв) .

2.     Потім учні об’єднуються в групи відповідно до номера карточки

     ( експертні групи). В експертних групах  учні розказують теоретичний   

     матеріал і пояснюють завдання, які були додому (10 хв).

3.     Учитель пропонує учням об’єднатися в домашні групи, де

     обмінюються інформацією отриманою в експертних групах.

 

ІУ.  Повторення і систематизація  вмінь.

1.     За побудованим графіком функції f(х) виконати дослідження функції:

 

 

 

 

 

 

         А) область визначення функції;

         Б) область значень функції;

         В) нулі функції;

         Г) проміжки зростання і спадання функції;

         Д) проміжки знакосталості;

         Е) точки екстремумів.

 

2.     Побудувати та дослідити функцію у = - х² – 4х + 5.

3.     Розв’язати нерівність:

·        5х² – 11 х + 6 < 0;

·        ( 10 – 5х) ( 6 + 2х) ≥ 0.

4.     Знайти область визначення функції:

·      у = √ х²  - 6х – 7  +  8/ (х² – 64);

·      у = √ 12 + х - х²   -  3/ √(2х – 5).

5.     Додатково завдання : 1.Побудувати  графік функції у= │х²  - х - 20│.

                                           2.Розв’язати нерівність : │х²  - х - 20│< 0.

 

У.  Підсумок  уроку

              1. На сьогоднішньому  уроці мені найбільше сподобалося…

              2. Під час роботи в групах я навчився ( навчив)…

              3. Вважаю, що на уроці я працював на …

 

УІ. Домашнє завдання :  домашня контрольна  робота

І варіант	ІІ варіант
1. Побудувати графік функції та дослідити її властивості у = 4х2 – 4х - 3	1. Побудувати графік функції та дослідити її властивості у = 4х2 – 4х - 3
2. Розв’язати нерівності графічним способом :  -х2 – 2х + 8 ≥ 0;	2. Розв’язати нерівності графічним способом :  -х2 + 4х – 3 ≥ 0;
3.Розв’язати нерівність методом інтервалів: (х2 + 6х – 16) ( х2 – 1)< 0	3.Розв’язати нерівність методом інтервалів: (х2 - 6х + 5) ( х2 – 4) ≥ 0
4.Знайти область визначення: У= √4х – х2 + 7/ √х-2	4.Знайти область визначення: У= √6х – х2 + 3/ √х-3

 

 

 

 

 

 

 

 

НАЙПРОСТІШІ ПЕРЕТВОРЕННЯ  ГРАФІКІВ  ФУНКЦІЙ

 

 

Формули залежності	Приклади графіків	Перетворення
у = f (х)        у = f (х) + n		Паралельне перенесення вздовж осі ОУ на n одиниць вгору , якщо n>0; на n одиниць вниз , якщо n<0.
у = f (х)             у = f (х + m)		Паралельне перенесення вздовж осі ОХ на m одиниць вправо , якщо m<0, на m  одиниць вліво, якщо m >0
у = f (х)        у = f (х + m)+n		Паралельне перенесення на m одиниць вздовж осі ОХ та на n одиниць вздовж осі ОУ
у = f (х)        у = kf (х)		Розтяг вздовж осі ОУ, якщо k>1, Стиск, якщо 0<k<1
у = f (х)        у = -f (х)		Симетрія відносно осі ОХ
у = f (х)        у = f (-х)		Симетрія відносно осі ОУ
у = f (х)        у = |f (х)|		Симетрія нижньої частини графіка відносно осі ОХ
у = f (х)        у = f (|х|)		Симетрія правої частини відносно осі ОУ
у = f (х)        |у |= f (х)		Симетрія верхньої частини відносно осі ОХ

 

 

АЛГОРИТМ  ПОБУДОВИ ГРАФІКА  КВАДРАТИЧНОЇ  ФУНКЦІЇ

 

Приклад : Побудувати графік функції у = 2х² + 4х + 3.

1. Знайдемо координати вершини параболи: хв.= - в/2а;  ув = ах2в+ вхв+ с	Хв.= -4/2*2= -1, Ув. = 2*(-1)2 + 4*(-1) +3 = 1
2. Побудуємо точку (-1;1) – вершину параболи. Проведемо через цю точку вісь симетрії параболи (пряму , паралельну осі ОУ)
3. Знайти нулі функції, якщо вони є, і побудувати на осі абсцис відповідні точки параболи	2х2 + 4х + 3=0 D = 16 – 4*2*3= - 8, D<0, отже парабола вісь ОХ не перетинає
4. Знайти координати точки перетину параболи з віссю ОУ. І побудувати цю точку на осі ординат.	У= 2*02 + 4*0+3= 3, Отже координати точки перетину параболи з віссю ОУ : ( 0; 3).
5. Візьмемо дві точки на осі ОХ, симетричні відносно осі симетрії параболи ( прямої х = хв). Обчислимо значення функції в цих точках.	Х    1       - 3   У     9        9 Побудуємо точки (1;9), (-3;9).
6. Будуємо параболу, сполучаючи  побудовані точки плавною лінією.

 

 

 

 

4.     Алгоритм розв’язування квадратичних нерівностей графічним способом.

- х2 – 2х + 3 < 0
1.Знайти корені квадратного тричлена й позначити їх на  координатній прямій.	- х2 – 2х + 3 = 0 D = в2 – 4 ас = 4 – 4 (-1) 3= 16, Х1 = (-в + √D)/2а = (2 +4)|(-2) = -3, Х2 = 1
3.     Схематично побудувати графік квадратичної функції, враховуючи  значення старшого коефіцієнта.
3. Записати проміжок, на якому функція набуває знака що відповідає заданій квадратичній функції.	Х є (-∞; - 3) U (1; + ∞)

Різні способи розташування графіка квадратичної  функції відносно осі абсцис.

Нерівність виду ах2 + вх + с > 0  (ах2 + вх + с < 0, ах2 + вх + с ≥ 0, ах2 + вх + с ≤ 0) називається квадратною, якщо а ≠ 0)
ах2 + вх + с > 0
а >0, D > 0               х є (-∞; х1) U (х2; +∞)	а >0, D  = 0               х є (-∞; х0) U (х0; +∞)	а >0, D < 0               х є (-∞;  +∞)
а < 0,  D > 0                 х є (х1 ; х2)	а < 0,  D = 0                 Розв’язків немає.	а < 0,  D < 0                 Розв’язків немає.
ах2 + вх + с < 0
а >0, D > 0                 х є (х1 ; х2)	а >0, D  = 0                 Розв’язків немає.	а >0, D < 0                 Розв’язків немає.
а < 0,  D > 0                 х є (-∞; х1) U (х2; +∞)	а < 0,  D = 0                 х є (-∞; х0) U (х0; +∞)	а < 0,  D < 0                 х є (-∞;  +∞)